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Reduced basis for nonlinear diffusion equations = Die reduzierte Basis für nichtlineare Diffusionsgleichungen



Verantwortlichkeitsangabevon Master of Science Mohammad Rasty

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (XII, 158 Seiten) : Diagramme


Dissertation, RWTH Aachen, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
;

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-03-03

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-016537
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/570445/files/570445.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/570445/files/570445.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

  1. Lehr- und Forschungsgebiet Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen (112620)
  2. Fachgruppe Mathematik (110000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; model order reduction (frei) ; reduced basis method (frei) ; nonlinear diffusion equations (frei) ; a posteriori error bound (frei) ; offline-online computational framework (frei) ; successive constraints method (frei) ; empirical interpolation method (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die Reduzierte-Basis-Methode (RBM) ist ein Modellreduktionsverfahren für das Lösen von parametrisierten partiellen Differentialgleichungen durch das Reduzieren der Dimension des Ausgangsproblems. Die Essenz der RBM ist das Aufspalten des Rechenprozesses in zwei Phasen: Die Offline- und die Online-Phase. In der Offline-Phase, die bloß einmal ausgeführt wird, wird die reduzierte Basis erstellt und für die Online-Phase nötige Informationen werden berechnet und gespeichert.In der Online-Phase wird die parametrizierte Differentialgleichung sehr effizient gelöst durch das Benutzen der Daten aus der Offline-Phase. In dieser Arbeit erweitern wir die RBM um diese auch auf nichtlineare Diffusion anzuwenden. Zuerst betrachten wir elliptische und parabolische quadratisch nichtlineare Diffusionsgleichungen. Im elliptischen Fall basiert die Reduzierte-Basis-Approximation auf einer Galerkin-Projektion und dann wird die Brezzi-Rappaz-Raviart (BRR) Theorie benutzt um rigorose a posteriori Fehlerschranken herzuleiten. Danach erweitern wir diese Ergebnisse auf den parabolischen Fall durch die Kombination von der BRR Theorie mit der Orts-Zeit-Methode. Wir zeigen, dass die Reduzierte-Basis-Approximation und die zugehörige a posteriori Fehlerschranke durch einen effizienten offline-online Rahmen berechnet werden können; sowohl für den elliptischen als auch parabolischen Fall. Im zweiten Teil der Arbeit betrachten wir nichtlineare Diffusionsgleichungen mit höherer Ordnung. Nichtlinearitäten höherer Ordnung stellen eine zusätzliche Schwierigkeit für Modellreduktionsverfahren dar, weil die Dimensionsreduktion oft keine Berechnungsvorteile bringt.Der Grund dafür liegt in der oft teuren Auswertung der Nichtlinearität, d.h. es existiert keine vollständige Entkopplung der Online-Phase vom hochdimensionalen Problem. Ein möglicher Ansatz dieses Problem zu lösen ist die Empirische-Interpolations-Methode (EIM), die eine interpolierende Approximation der Nichtlinearität liefert mithilfe von vorher berechneten Basisfunktionen. Wieder betrachten wir den Gleichgewichtsfall und den Zeit-abhängigen Fall und entwickeln eine Reduzierte-Basis-Approximation und die zugehörige a posteriori Fehlerschranken für die Nichtlineare Diffusionsgleichungen höherer Ordnung. Wir bemerken, dass, obwohl die EIM eine effiziente offline-online Berechnung ermöglicht, die Fehlerschranken nicht rigoros sein können.

The Reduced Basis Method (RBM) is a model order reduction technique for solving parametric partial differential equations (PDEs) by reducing the dimension of the underlying problem. The essence of the RBM is to divide the computational process into two stages: an offline and an online stage. In the offline stage, which is performed only once, the reduced basis is generated and required information needed in the online stage is computed and saved. In the online stage, the parameter dependent PDE is solved very efficiently by utilizing data provided from the offline stage.In this thesis, the RBM is extended to treat nonlinear diffusion equations. We first consider an elliptic and parabolic quadratically nonlinear diffusion equation. In the elliptic case, the reduced basis approximation is based on a Galerkin projection and the Brezzi-Rappaz-Raviart (BRR) framework is used to derive rigorous a posteriori error bounds. We subsequently extend these results to the parabolic case by combining the BRR framework with the space-time method. We show that the reduced basis approximation and the associated a posteriori bounds can be computed using an efficient offline-online computational framework, both for the elliptic and parabolic case.In the second part of this thesis, we focus on higher order nonlinear diffusion equations. Higher order nonlinearities pose an additional challenge for model order reduction methods, since the dimensional reduction often does not result in a computational gain. The reason lies in the often expensive evaluation of the nonlinearity, i.e. there is no complete decoupling of the online stage from the underlying high-dimensional problem. One possible approach to solve this problem is the Empirical Interpolation Method (EIM), which allows to approximate the nonlinearity by an affine representation of previously computed basis functions using interpolation. We again consider both the steady-state and time-dependent case, and develop reduced basis approximations and associated {\it a posteriori} error bounds for higher order nonlinear diffusion equations. We remark that although the EIM provides an efficient offline-online computational procedure, the error estimators evaluated using the EIM might not be rigorous.

OpenAccess:
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(additional files)

Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online

Sprache
English

Externe Identnummern
HBZ: HT018908264

Interne Identnummern
RWTH-2016-01653
Datensatz-ID: 570445

Beteiligte Länder
Germany

 GO


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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
110000
112620

 Record created 2016-03-04, last modified 2023-04-08