Interpolation of Rotations and Coupling of Patches in Isogeometric Reissner-Mindlin Shell Analysis

Dornisch, Wolfgang; Klinkel, Sven; Bischoff, Manfred; Gruttmann, Friedrich

doi:HT018664949

Interpolation of Rotations and Coupling of Patches in Isogeometric Reissner-Mindlin Shell Analysis = Interpolation von Rotationen und Kopplung von Patches im Rahmen der isogeometrischen Analyse von Reissner-Mindlin-Schalen

Dornisch, Wolfgang

2015 & 2015

VerantwortlichkeitsangabeWolfgang Dornisch

ImpressumAachen : Lehrstuhls für Baustatik und Baudynamik der RWTH Aachen 2015

UmfangXII, 229 S. : Ill., graph. Darst.

ISBN978-3-946090-02-1

ReiheSchriftenreihe des Lehrstuhls für Baustatik und Baudynamik der RWTH Aachen ; 2015,03

Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Genehmigende Fakultät
Fak03

Hauptberichter/Gutachter
Klinkel, Sven (Thesis advisor) ; Bischoff, Manfred (Thesis advisor) ; Gruttmann, Friedrich (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2015-04-24

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2015-022875
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/466744/files/466744.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/466744/files/466744.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Lehrstuhl für Baustatik und Baudynamik (311810)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Ingenieurwissenschaften (frei) ; Isogeometric Analysis (frei) ; Reissner-Mindlin Shell Analysis (frei) ; NURBS (frei) ; Interpolation of Rotations (frei) ; Integration schemes (frei) ; Domain Decomposition (frei) ; Mortar Method (frei) ; Weak Substitution Method (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 620

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Entwicklung einer effizienten und robusten isogeometrischen Reissner-Mindlin-Schalenformulierung. Die grundlegende Annahme bei Schalentheorien ist eine Dimensionsreduzierung des dreidimensionalen Kontinuums auf eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum. Somit wird die Geometrie durch eine Referenzfläche in Verbindung mit einem Direktor-Vektor-Feld beschrieben. Die Ausdehnung in Dickenrichtung wird durch die Direktor-Vektoren definiert. Das Hauptziel der isogeometrischen Analyse ist es, die gleiche Modell-Beschreibung für Entwurf und Berechnung zu verwenden. Dünnwandige Strukturen werden in Entwurfsprogrammen durch eine Referenzfläche mitsamt zugehöriger Dicke beschrieben. Somit kann durch die Verwendung isogeometrischer Schalenelemente die aufwändige Umrechnung in Volumen-Geometriebeschreibungen vermieden werden.Die Verwendung von NURBS-Flächen (Non-Uniform Rational B-splines) kann zu hoher Kontinuität an den Elementgrenzen führen. Dies erfordert ein Überdenken aller Konzepte, die in konventionellen Schalenelementen, welche auf linearen Lagrange-Basisfunktionen basieren, verwendet werden. Die in dieser Arbeit vorgestellte Schalenformulierung ist aus der Kontinuumstheorie hergeleitet und verwendet eine orthogonale Drehung, welche durch den Drehtensor nach Rodrigues beschrieben wird, zur Berechnung des Direktor-Vektors in der Momentankonfiguration. Große Verformungen und endliche Verdrehungen können präzise beschrieben werden.Für die Diskretisierung werden Direktor-Vektoren in den Knoten benötigt. Diese sollen die Normalenvektoren so genau wie möglich interpolieren. Eine neue Methode zur Bestimmung von Knoten-Basissystemen und Knoten-Direktor-Vektoren wird hergeleitet. Darauf aufbauend wird ein Kriterium vorgeschlagen, welches eine automatische Bestimmung der passenden Anzahl von Rotationsfreiheitsgraden für jeden Knoten ermöglicht. Dadurch sind stabile Berechnungen von Geometrien mit Knicken möglich, ohne dass die Verwendung von Methoden zur Drill-Rotations-Stabilisierung oder ein manueller Eingriff des Benutzers notwendig sind.Die Herleitung verschiedener Konzepte für die Interpolation des Direktor-Vektors in der Momentankonfiguration stellt den Hauptteil dieser Arbeit dar. Die Momentankonfiguration des Direktor-Vektors ist eine Funktion des Verdrehzustands. Die jeweiligen Konzepte unterscheiden sich durch die Größe, welche interpoliert wird, sowie durch die gewählte Update-Formulierung für die Verdrehungen. Der Einfluss jedes Konzepts auf das globale Deformations-Konvergenzverhalten wird mit Hilfe von numerischen Beispielen untersucht. Die Ergebnisse legen nahe, dass ordnungsgemäßes Konvergenzverhalten für alle Grade von NURBS-Basisfunktionen nur erreicht werden kann, falls interpolierte Direktor-Vektoren verdreht werden. Konzepte dieser Art sind genauer und aufwendiger als Konzepte, die Knoten-Direktor-Vektoren verdrehen. Aber der höhere Berechnungsaufwand zahlt sich bei Geometrien mit beliebiger Krümmung und bei Basisfunktionen höheren Grades aus. Geometrien mit Knicken erfordern eine multiplikative Update-Formulierung für die Verdrehungen, falls ein Konzept verwendet wird, das interpolierte Direktor-Vektoren verdreht.Drei verschiedene Integrationsregeln werden in den numerischen Beispielen berücksichtigt. Neben vollständiger und reduzierter Integration nach Gauß wird auch ein neues nicht-gleichförmiges Integrationsschema in Anlehnung an Adam et al. (2015) untersucht. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf der gegenseitigen Beeinflussung von gewähltem Rotationskonzept und Integrationsschema. Die Reduzierung der Anzahl der Integrationspunkte von vollständiger zu reduzierter Integration führt zu einer leichten Verminderung von Versteifungseffekten. Die weitere Verringerung durch die Anwendung des nicht-gleichförmigen Integrationsschemas führt bei manchen Beispielen zu einer erheblichen Reduzierung von Versteifungseffekten. Dies führt jedoch nur zu höherer Genauigkeit falls ein Konzept verwendet wird, das interpolierte Direktor-Vektoren verdreht. In anderen Fällen führt die Verringerung von Versteifungseffekten zu einer Abnahme der Genauigkeit der Verschiebungsergebnisse. Die Effizienz der vorgestellten Schalenformulierung wird anhand der Berechnungskosten, die zum Erreichen eines vordefinierten Fehlerniveaus notwendig sind, mit konventionellen Schalenformulierungen verglichen. Hierbei zeigt sich, dass die effektivste Kombination von Integrationsschema und Rotationskonzept konkurrenzfähig zu konventionellen Schalenformulierungen ist.Ein weiteres Hauptanliegen dieser Arbeit ist die Herleitung einer Mortar-Methode zur Kopplung nicht-konformer NURBS-Flächenpatches. Methoden zur Berechnung nicht-konformer Patches ohne gegenseitige Netzverfeinerung sind unerlässlich für eine wirtschaftliche Anwendung von NURBS-basierten isogeometrischen Methoden. Das vorgestellte Verfahren basiert auf einer Substitutions-Beziehung, welche aus der schwachen Erfüllung der Gleichheit der gegenseitigen Verschiebungen entlang der Verbindungslinie hergeleitet wird. Mit Hilfe dieser Beziehung kann durch eine statische Kondensation das globale Gleichungssystem gekoppelt werden. Die Variationsformulierung wird nicht verändert und die globale Steifigkeitsmatrix bleibt positiv definit. Anhand numerischer Beispiele wird die Anwendbarkeit der Methode aufgezeigt. Die Ergebnisse werden mit Referenzergebnissen und mit Berechnungen mit der Lagrange-Multiplikator-Methode verglichen. Die Anwendbarkeit der Kopplungs-Methode für die vorgestellte Reissner-Mindlin-Schalenformulierung wird mit Hilfe zweier nichtlinearer Beispiele gezeigt.

This work is concerned with the development of an efficient and robust isogeometric Reissner–Mindlin shell formulation. The basic assumption of shell theories is a dimensional reduction of the three-dimensional continuum to a two-dimensional surface embedded in the three-dimensional space. Consequently, the geometry is described by a reference surface in combination with a director vector field, which defines the expansion in the thickness direction. The main objective of isogeometric analysis is to use the same model description for design and analysis. Thin-walled structures are usually defined by a reference surface and an associated thickness in industrial design software. Thus, the usage of isogeometric shell elements can avoid costly conversions to volumetric geometry descriptions.The usage of NURBS surfaces (Non-Uniform Rational B-splines) possibly yields high continuity between elements. This requires a rethinking of all concepts used in conventional shell elements, which base on linear Lagrange basis functions. The shell formulation presented in this work is derived from the continuum theory and uses an orthogonal rotation described by Rodrigues' tensor to compute the current director vector. Large deformations and finite rotations can be described accurately. The discretization requires nodal director vectors which interpolate the normal vector as exact as possible. A new method for the definition of nodal basis systems and nodal director vectors is derived. Basing on this, a criterion for the automatic assignment of the correct number of rotational degrees of freedom for each node is proposed. This allows stable computations of geometries with kinks while requiring neither the usage of drilling rotation stabilization nor manual user interaction. The main part of this work is the derivation of various concepts for the interpolation of the current director vector, which is a function of the rotational state. The respective concepts differ in the quantity which is actually interpolated and in the chosen update formulation for the rotations. The influence of each concept on the global deformation convergence behavior is assessed with the help of numerical examples. The results suggest that proper convergence behavior for all orders of NURBS basis functions can only be attained if interpolated director vectors are rotated. Concepts of this type are more accurate and expensive than concepts which rotate nodal director vectors. But the higher computational effort pays off for geometries with arbitrary curvature and for basis functions of higher order. Geometries with kinks require a multiplicative rotational update formulation for concepts that rotate interpolated director vectors.Three different integration rules are considered within the numerical examples. Besides full and reduced Gauss integration also a new non-uniform Gauss integration concept following Adam et al. (2015) is assessed. A special focus is put on the interaction between the chosen rotational concept and the integration scheme. The reduction of the number of integration points from full to reduced integration slightly alleviates locking effects. The further reduction entailed by non-uniform integration significantly reduces locking effects in some examples. But this only yields higher accuracy if a concept which rotates interpolated director vectors is chosen. The reduction of locking deteriorates the accuracy of deformation results in other cases. The efficiency of the presented shell formulation is compared to standard shell formulations in terms of computational costs to attain a pre-defined error level. The most effective combination of integration scheme and rotational concept is shown to be competitive to standard shell formulations.A further main concern of this work is the derivation of a mortar-type method for the coupling of non-conforming NURBS surface patches. Methods to handle non-conforming patches without mutual refinement are essential for an efficient application of NURBS-based isogeometric analysis. The proposed method bases on a substitution relation, which is derived from the weak fulfillment of the equality of mutual displacements along the interface. A static condensation can be performed with the help of this substitution relation in order to attain a coupled global system of equations. The variational formulation is not altered and the global stiffness matrix remains positive definite. Numerical examples show the applicability of the method. A comparison to reference results and to computations with the Lagrange multiplier method is given. The applicability of the coupling method for the presented Reissner-Mindlin shell formulation is shown with the help of two nonlinear examples.

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