Integral Menger Curvature and Rectifiability of n-dimensional Borel sets in Euclidean N-space

Meurer, Martin; von der Mosel, Heiko; Wagner, Alfred

doi:HT018621117

Integral Menger Curvature and Rectifiability of n-dimensional Borel sets in Euclidean N-space = Integrale Mengerkrümmung und Rektifizierbarkeit von n-dimensionalen Borel-Mengen im N-dimensionalen Euklidischen Raum

Meurer, Martin

2015

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Martin Meurer

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2015

UmfangX, 167 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
von der Mosel, Heiko (Thesis advisor) ; Wagner, Alfred (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2015-04-10

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2015-018972
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/466076/files/466076.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/466076/files/466076.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Geometric measure theory (frei) ; Menger curvature (frei) ; rectifiability (frei) ; beta-numbers (frei) ; Geometrische Maßtheorie (frei) ; Mengerkrümmung (frei) ; Rektifizierbarkeit (frei) ; Beta-Zahlen (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit zeigen wir, dass eine n-dimensionale Borel Menge mit endlicher integraler Menger Krümmung n-rektifizierbar ist, d.h. es existieren abzählbar viele Lipschitz Abbildungen, deren Bilder, bis auf eine Nullmenge bzgl. des Hausdorff Maßes, die Menge überdecken. Dies ist eine Verallgemeinerung von Légers Arbeit über Rektifizierbarkeit von eindimensionalen Mengen zu Mengen beliebiger Dimension und Codimension. Wir charakterisieren mögliche Integranden und diskutieren einige bekannte Beispiele aus anderen Arbeiten. Als Zwischenergebnis zeigen wir Abschätzungen von P. Jones β-Zahlen gegen die integrale Menger Krümmung. Im Gegensatz zu den Arbeiten von Lerman and Whitehouse müssen wir nur obere Ahlfors Regularität voraussetzen.

In this thesis we show that an n-dimensional Borel set in Euclidean N-space with finite integral Menger curvature is n-rectifiable, meaning that it can be covered by countably many images of Lipschitz continuous functions up to a null set in the sense of Hausdorff measure. This generalises Léger’s rectifiability result for one-dimensional sets to arbitrary dimension and co-dimension. In addition, we characterise possible integrands and discuss examples known from the literature. Intermediate results of independent interest include upper bounds of different versions of P. Jones’s β-numbers in terms of integral Menger curvature without assuming lower Ahlfors regularity, in contrast to the results of Lerman and Whitehouse.

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