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Geometric curvature energies : from local to global ; from discrete to smooth = Geometrische Krümmungsenergien : von lokal zu global ; von diskret zu glatt



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Sebastian Scholtes

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2014

UmfangX, 136 S. : graph. Darst.


Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter


Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-11-28

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-52792
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/465397/files/5279.pdf

Einrichtungen

  1. Fachgruppe Mathematik (110000)
  2. Lehrstuhl für Mathematik (Analysis) (111810)
  3. Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (112120)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Variationsrechnung (Genormte SW) ; Diskrete Geometrie (Genormte SW) ; Dicke (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Mengerkrümmung (frei) ; Möbiusenergie (frei) ; diskrete Krümmung (frei) ; Knotenenergie (frei) ; Menger curvature (frei) ; Möbius energy (frei) ; thickness (frei) ; positive reach (frei) ; discrete curvature (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 53A07 * 49J45 * 28A75 * 49Q10 * 57M25

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit geometrischen Krümmungsenergien. Diese sind auf Kurven, oder allgemeiner metrischen Räumen, definiert und stehen in Zusammenhang mit der Krümmung dieser Objekte. Zumeist bestehen die Energien aus Doppel- oder Dreifachintegralen. Wir zeigen, daß der Grenzwert des Kehrwertes des Umkreisradius dreier Punkte, die sogenannte Menger-Krümmung, die klassische Krümmung einer glatten Kurve ergeben, falls diese Punkte gegen einen einzigen konvergieren. Weiterhin reicht die bloße Existenz dieser Krümmung, damit ein ebenes Kontinuum bereits eine glatte Kurve ist. Diese Menger Krümmung interpretieren wir sodann im Kontext einer Einbettungskrümmung und beweisen ein Analogon zu einem Satz von Wald. Das Supremum über den Umkreisradius auf einer Sphäre eines normierten Vektorraums entscheidet darüber, ob dieser Raum ein inneres Produkt besitzt. Als integrale p Menger Krümmung wird das dreifach Integral über den Kehrwert des Umkreisradius zur p-ten Potenz bezeichnet. Diese Energie sowie verschiedene verwandte Energien werden hinsichtlich der topologischen Regularität, beispielsweise Vermeidung von Verzweigungspunkten, untersucht, welche die Endlichkeit der Energie gewährleistet. Zusätzlich wird auch untersucht welche tangentiale Regularität bei endlicher Energie in jedem Punkt erwartet werden kann. Wir beweisen den Satz, daß eine geschlossene Hyperfläche positive Reichweite dann und nur dann besitzt, wenn sie von der Klasse C^{1,1} ist. Neben einer neuen Charakterisierung von Mengen mit positiver Reichweite, welche alternierende Steiner-Formeln involviert, verwenden wir diese Resultate um eine bereits bekannte Lösung eines Problems von Hadwiger in einem neuen Licht erscheinen zu lassen. Der letzte Teil der vorliegenden Arbeit widmet sich diskreten Versionen der integralen Menger Krümmung, der Dicke und der Möbius Energie, einem Doppelintegral über die Differenz zwischen den quadrierten Kehrwerten von extrinsischer und intrinsischer Distanz zweier Punkte einer Kurve. Diese diskreten Krümmungsenergien sind definiert auf gleichseitigen Polygonen der Länge 1 mit n Segmenten und wir beweisen Gamma-Konvergenz Resultate. Unter zusätzlichen Annahmen zeigt dies auch direkt die Konvergenz von (fast) Minimierern der diskreten Energien in einer festgewählten Knotenklasse gegen Minimierer der Grenzenergie in derselben Knotenklasse. Weiterhin beweisen wir, daß der absolute Minimierer von diskreter Dicke und diskreter Möbius Energie jeweils das regelmäßige n-gon ist.

In this thesis we consider geometric curvature energies, which are energies defined on curves, or more generally metric spaces, that are in some way connected to curvature. Most of these energies are defined as double or triple integrals. We show that the limit of the inverse circumradius of triangles that converge to a single point in a metric space, called Menger curvature, coincides with the classic curvature of a smooth space curve and that the mere existence of this Menger curvature ensures that a plane continuum already is a smooth curve. Furthermore, we find a way to regard Menger curvature as an embedding curvature and show that there is an analog to Wald's Theorem for this curvature. The supremum of the circumradius on a sphere in a normed vector space, is sufficient to decide wether or not this space can be endowed with an inner product. The integral p-Menger curvature is the triple integral of the p-th power of the inverse circumradius of a metric space. Various closely related energies, so-called intermediate energies, are investigated with respect to topological restrictions, for example the avoidance of ramification points, that the finiteness of the energy imposes on the metric space. Additionally, it is studied which tangential regularity can be expected at every point of an arbitrary subset of R^d if these energies or the integral Menger curvature are finite. We prove the folklore theorem that a hypersurface has positive reach if and only if it is of class C^{1,1}. Besides, we give a new characterisation of sets of positive reach in terms of alternating Steiner formulae for the parallel sets and use these results to shed new light on already known answers to a problem by Hadwiger. In the last part of the thesis we are concerned with discrete versions of integral Menger curvature, thickness and the Möbius energy, which is the double integral over the difference between the squared inverse extrinsic and squared inverse intrinsic distance of all pairs on a space curve. These discrete curvature energies are defined on equilateral polygons of length 1 with n segments. We establish Gamma-convergence results for n converging to infinity. Under additional hypotheses this directly implies the convergence of (almost) discrete minimizers in a fixed knot class to smooth minimizers in the same knot class. Moreover, we show that the unique minimizers of the discrete Möbius energy and discrete thickness amongst all polygons is the regular n-gon.

Fulltext:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online, print

Sprache
English

Interne Identnummern
RWTH-CONV-145433
Datensatz-ID: 465397

Beteiligte Länder
Germany

 GO


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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
110000
112120
111810

 Record created 2015-04-10, last modified 2022-04-22


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