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On the computation of the differential Galois group = Über die Berechnung der Differential-Galoisgruppe



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Daniel Rettstadt

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2014

Umfang97 S.


Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter


Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-06-16

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-51819
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/444974/files/5181.pdf

Einrichtungen

  1. Fachgruppe Mathematik (110000)
  2. Lehrstuhl für Mathematik (Algebra) (115210)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Lineare Differenzengleichung (Genormte SW) ; Galois-Theorie (Genormte SW) ; Galois-Gruppe (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; linear differential equation (frei) ; Galois theory (frei) ; Galois group (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Es sei F ein Körper versehen mit einer Derivation d. Wir setzen voraus, dass der Kern von d, der Körper der sogenannten Konstanten C, algebraisch abgeschlossen ist. Ein linearer Differentialoperator über F ist ein Polynom in dem nicht-kommutativen Ring F[d]. Jeder Differentialoperator hat eine Zerlegung als Produckt irreduzibler Faktoren. Eine solche Faktorisierung ist eindeutig bis auf eine gewisse Äquivalenzrelation, die sogenannte Ähnlichkeit. Weiterhin geht jede andere Faktorisierung durch einen Vorgang, der als Vertauschung bezeichnet wird, hervor. Man kann jedem Differentialoperator L eine Differentialgleichung L(y)=0 zuordnen. Zu einem Differentialoperator L gibt es Differentialkörpererweiterungen, die n linear unabhängige Lösungen von L(y)=0 enthalten. Eine solche Erweiterung, die in einem gewissen Sinne minimal ist, nennen wir Picard-Vessiot Erweiterung. Sei K eine solche Picard-Vessiot Erweiterung, dann definieren wir die Differential-Galoisgruppe als die Gruppe der F-Automorphismen auf K, die mit der Derivation vertauschen. Die Differential-Galoisgruppe hat eine Darstellung über dem C-Vektorraum, der von den Lösungen von L(y)=0 in K aufgespannt wird. Ein erstes Resultat ist ein Algorithmus, der bestimmt, ob zwei gegebene irreduzible Differentialoperatoren vertauschen und eine Vertauschung berechnet, falls diese existiert. Als Anwendung davon kann man alle irreduziblen Faktorisierungen von Differentialoperatoren berechnen, falls diese keine ähnlichen, vertauschenden, irreduziblen Faktoren besitzen. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist das Reduzieren des Problems der Berechnung der Differential-Galoisgruppe auf das Problem der Berechnung alle Rechtsfaktoreneines gewissen, explizit berechenbaren Differentialoperators.

Let F be a field with a derivation d on F. The kernel of d is the field of constants C, which we require to be algebraically closed. A linear differential operator over F is a polynomial in the non-commutative ring F[d]. Every differential operator can be written as a product of irreducible differential operators. Such factorizations are unique up a certain equivalence relation, which is know as similarity. Furthermore every other factorization is obtained by a process we call transposition. To every differential operator L we can assign a differential equation L(y)=0. For a given differential operator L with coefficients in F, there exist differential field extensions of F containing n linearily independent solutions of L(y)=0, which has no new constants. A field that is in some sense minimal among these extensions will be called a Picard-Vessiot extension. For such a Picard-Vessiot extension K, we define the differential Galois group as the group of F-automorphisms of K that commute with the derivation. The differential Galois group has a representation on the C-vector space, which is spanned by the solutions of L(y)=0 in K. As an auxiliary results we present an algorithm that determines whether a transposition of two irreducible differential operators exists and computes it, if possible. Due to this algorithm we can determine all factorizations of linear differential operators, which have no pair of similar, irreducible factors that transpose. The main result is an algorithm that reduces the computation of the representation of the differential Galois group to the problem of computing all right hand factors of a certain, computable differential operator.

Fulltext:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online, print

Sprache
English

Interne Identnummern
RWTH-CONV-145285
Datensatz-ID: 444974

Beteiligte Länder
Germany

 GO


OpenAccess

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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
110000
115210

 Record created 2014-12-09, last modified 2022-04-22


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