2014
Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014
Genehmigende Fakultät
Fak01
Hauptberichter/Gutachter
Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-06-16
Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-51819
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/444974/files/5181.pdf
Einrichtungen
Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Lineare Differenzengleichung (Genormte SW) ; Galois-Theorie (Genormte SW) ; Galois-Gruppe (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; linear differential equation (frei) ; Galois theory (frei) ; Galois group (frei)
Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
Kurzfassung
Es sei F ein Körper versehen mit einer Derivation d. Wir setzen voraus, dass der Kern von d, der Körper der sogenannten Konstanten C, algebraisch abgeschlossen ist. Ein linearer Differentialoperator über F ist ein Polynom in dem nicht-kommutativen Ring F[d]. Jeder Differentialoperator hat eine Zerlegung als Produckt irreduzibler Faktoren. Eine solche Faktorisierung ist eindeutig bis auf eine gewisse Äquivalenzrelation, die sogenannte Ähnlichkeit. Weiterhin geht jede andere Faktorisierung durch einen Vorgang, der als Vertauschung bezeichnet wird, hervor. Man kann jedem Differentialoperator L eine Differentialgleichung L(y)=0 zuordnen. Zu einem Differentialoperator L gibt es Differentialkörpererweiterungen, die n linear unabhängige Lösungen von L(y)=0 enthalten. Eine solche Erweiterung, die in einem gewissen Sinne minimal ist, nennen wir Picard-Vessiot Erweiterung. Sei K eine solche Picard-Vessiot Erweiterung, dann definieren wir die Differential-Galoisgruppe als die Gruppe der F-Automorphismen auf K, die mit der Derivation vertauschen. Die Differential-Galoisgruppe hat eine Darstellung über dem C-Vektorraum, der von den Lösungen von L(y)=0 in K aufgespannt wird. Ein erstes Resultat ist ein Algorithmus, der bestimmt, ob zwei gegebene irreduzible Differentialoperatoren vertauschen und eine Vertauschung berechnet, falls diese existiert. Als Anwendung davon kann man alle irreduziblen Faktorisierungen von Differentialoperatoren berechnen, falls diese keine ähnlichen, vertauschenden, irreduziblen Faktoren besitzen. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist das Reduzieren des Problems der Berechnung der Differential-Galoisgruppe auf das Problem der Berechnung alle Rechtsfaktoreneines gewissen, explizit berechenbaren Differentialoperators.Let F be a field with a derivation d on F. The kernel of d is the field of constants C, which we require to be algebraically closed. A linear differential operator over F is a polynomial in the non-commutative ring F[d]. Every differential operator can be written as a product of irreducible differential operators. Such factorizations are unique up a certain equivalence relation, which is know as similarity. Furthermore every other factorization is obtained by a process we call transposition. To every differential operator L we can assign a differential equation L(y)=0. For a given differential operator L with coefficients in F, there exist differential field extensions of F containing n linearily independent solutions of L(y)=0, which has no new constants. A field that is in some sense minimal among these extensions will be called a Picard-Vessiot extension. For such a Picard-Vessiot extension K, we define the differential Galois group as the group of F-automorphisms of K that commute with the derivation. The differential Galois group has a representation on the C-vector space, which is spanned by the solutions of L(y)=0 in K. As an auxiliary results we present an algorithm that determines whether a transposition of two irreducible differential operators exists and computes it, if possible. Due to this algorithm we can determine all factorizations of linear differential operators, which have no pair of similar, irreducible factors that transpose. The main result is an algorithm that reduces the computation of the representation of the differential Galois group to the problem of computing all right hand factors of a certain, computable differential operator.
Fulltext:
PDF
Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis
Format
online, print
Sprache
English
Interne Identnummern
RWTH-CONV-145285
Datensatz-ID: 444974
Beteiligte Länder
Germany