Stratified optimality theory : a tool for the theoretical justification of assumptions in finite-dimensional optimization

Dorsch, Dominik; Günzel, Harald

doi:urn:nbn:de:hbz:82-opus-51320

Stratified optimality theory : a tool for the theoretical justification of assumptions in finite-dimensional optimization = Stratifizierte Optimalitätstheorie

Dorsch, Dominik (Author)

2014

VerantwortlichkeitsangabeDominik Dorsch

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2014

UmfangIX, 173 S.

ReiheMathematik

Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Druckausg.: Dorsch, Dominik: Stratified optimality theory

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Günzel, Harald (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-02-07

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-51320
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/459440/files/5132.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Optimalitätsbedingung / Stratifikation / Semidefinite Optimierung / Nichtlineare Optimierung (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die Minimierung bzw. Maximierung einer Funktion unter Nebenbedingungen ist ein grundsätzliches Problem, das in vielen Wissenschaften wie Biologie, Chemie und Physik, als auch in angewandten Bereichen wie Wirtschaft, Finanzen und Technik auftritt. Somit hatte auch die systematische Untersuchung von nichtlinearen Programmen einen immensen Einfluss auf diese Disziplinen. Im Laufe der letzten Jahrzehnte wurde deutlich, dass bestimmte strukturelle Eigenschaften der Probleme aus Anwendungen es erfordern, entsprechend zugeschnittene mathematische Optimierungsklassen, die diese Eigenschaften befriedigend darstellen, zu untersuchen. Heute gibt es umfassende Theorien, die notwendige- und hinreichende Optimalitätsbedingungen für verschiedene Optimierungsklassen liefern. Darüber hinaus fasst man die Untersuchung von Optimalität im allgemeinen Sinne heute in dem Bereich „Variational Analysis” zusammen. Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Frage, ob die Annahmen, die von verschiedenen Optimalitätstheorien verlangt werden, in einem präzisen mathematischen Sinn als „mild” betrachtet werden können. Dies wird dadurch motiviert, dass es in der Praxis nicht möglich ist, Annahmen über die (noch unbekannten) Lösungen zu überprüfen; und es daher wünschenswert wäre zu gewährleisten, dass die Annahmen zumindest für eine „ausreichend” reichhaltige Teilklasse von Problemen erfüllt sind. Um die Frage zu beantworten, statten wir die gegebenen Nebenbedingungsmengen mit einer Stratifizierung, d.h. einer Partition bestehend aus Mannigfaltigkeiten, aus. Diese zusätzliche geometrische Struktur erlaubt es Ergebnisse aus der Differential-Topologie anzuwenden, wodurch wir in der Lage sind Optimalitätsbedingungen, die für eine dichte und offene Teilmenge von Probleminstanzen gelten, zu beweisen. Die vorgestellte Theorie wird mit Hilfe klassischer Objekte aus der „Variational Analysis” wie Tangential- und Normalkegeln entwickelt. Jedoch ermöglicht uns die gegebene Stratifizierung ferner, neue Objekte zu definieren, die speziell für stratifizierte Mengen zugeschnitten sind, und somit stärkere Eigenschaften haben als die klassischen Objekte. Schließlich wenden wir unsere Theorie exemplarisch auf semidefinite nichtlineare Programmierung, Mathematische Programme mit verschwindenden Nebenbedingungen und verallgemeinerte Nash-Gleichgewichts-Spiele an. Unsere geometrischen Sicht hilft uns neue Erkenntnisse über strukturelle Eigenschaften dieser besonderen Problemklassen zu gewinnen. Schließlich können wir auch neue lokale Lösungsalgorithmen mit vielversprechenden Konvergenzeigenschaften definieren.

The minimization or maximization of a function subject to constraints is a fundamental problem which occurs in many sciences like biology, chemistry, and physics, as well as in applied fields like economics, finance, and engineering. Thus, the systematic study of Nonlinear Programs has naturally had an immense impact on those disciplines. However, over the last decades it became evident that specific structural properties of the problems arising in applications call for problem tailored mathematical optimization classes which represent these properties satisfactory. Nowadays, comprehensive theories provide necessary and sufficient optimality conditions for different optimization classes. In addition, the treatment of optimality in a broader setting is today subsumed under the field of “Variational Analysis”. This dissertation is concerned with the question whether assumptions being imposed by different optimality theories can be considered to be “mild” in some precise mathematical way. This is motivated by the fact that, in practice, it is impossible to verify assumptions at the (yet unknown) solutions and, hence, it would be desirable to guarantee that they are at least fulfilled for a “sufficiently” rich set of problem instances. In order to answer the question we endow the given constraint set with a stratification, i.e., a partition into manifolds. This additional geometric structure opens the field for results from Differential Topology and, as a consequence, we are able to prove optimality conditions which hold for a dense and open subset of problem instances. The presented theory is developed in terms of classical objects from Variational Analysis like tangent and normal cones. However, the given stratification enables us, furthermore, to introduce new objects which are specifically tailored to stratified sets and, thus, have stronger properties than the classical ones. We apply our theory exemplary to Nonlinear Semidefinite Programming, Mathematical Programs with Vanishing Constraints, and Generalized Nash Equilibrium Problems. Our geometric point of view helps us to gain new insights about structural properties of these particular problem classes. Finally we are even able to define new local solution algorithms with promising convergence properties.

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