Orlicz-Modulationsräume

Schnackers, Catherine; Führ, Hartmut

doi:5131

Orlicz-Modulationsräume = Orlicz modulation spaces

Schnackers, Catherine (Author)

2014

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Catherine Schnackers

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2014

UmfangIX, 204 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014

Zsfassung in dt. und engl. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Führ, Hartmut (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-02-03

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-51311
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/444883/files/5131.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Orlicz-Raum (Genormte SW) ; Kurzzeit-Fourier-Transformation (Genormte SW) ; Zeit-Frequenz-Analyse (Genormte SW) ; Entropie (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Modulationsräume (frei) ; Orlicz-space (frei) ; short-time fourier transform (frei) ; time-frequency analysis (frei) ; modulation spaces (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit werden die Modulationsräume von gemischt-gewichteten Lebesgue-Räumen auf Modulationsräume von Orlicz-Räumen und gemischten Orlicz-Räumen erweitert sowie deren Eigenschaften analysiert. Insbesondere charakterisieren wir Einbettungen dieser Räume und beweisen Entropie-Abschätzungen für die Kurzzeit-Fouriertransformierte. Die klassischen Modulationsräume sind Banachräume von Funktionen, deren Zeit-Frequenz-Verhalten durch die Norm ihrer Kurzzeit-Fouriertransformierten quantifiziert wird. Der Modulationsraum M^{p,q} besteht aus allen temperierten Distributionen, deren Kurzzeit-Fouriertransformierte im gemischten Lebesgue-Raum L^{p,q} liegt. Diese Idee erweitern wir auf Orlicz-Räume und gemischte Orlicz-Räume. Klassische Modulationsräume lassen sich als Coorbiträume auffassen. Ebenso kann man diese Räume ohne expliziten Verweis auf diese Theorie direkt als Räume temperierter Distributionen definieren, siehe [Gröchenig, 2001]. Diese doppelte Sichtweise wird in dieser Arbeit für Orlicz-Modulationsräume systematisch entwickelt. Kapitel 1 und 3 stellen die wesentlichen Resultate aus der Zeit-Frequenz-Analyse und der Theorie der Orlicz-Räume zusammen. Definitionen und Eigenschaften von Young-Funktionen Phi und den assoziierten Orlicz-Räumen L^Phi werden erläutert und gemischte Orlicz-Räume L^{Phi_1 Phi_2} werden als Räume vektorwertiger Funktionen eingeführt. Anschließend untersuchen wir insbesondere die für die Zeit-Frequenz-Analyse und die Coorbit-Theorie benötigten Eigenschaften dieser Räume. Dabei spielt in wiederholter Weise die Delta_2-Bedingung eine zentrale Rolle. Darauf aufbauend definieren wir in Kapitel 4 die Orlicz-Modulationsräume und die gemischten Orlicz-Modulationsräume. Wir zeigen, dass die Orlicz-Modulationsräume wohldefinierte Banachräume sind, wenn die Young-Funktion und ihre komplementäre Funktion stetig sind. Eine entsprechende Aussage gilt auch für die gemischten Orlicz-Modulationsräume unter der Annahme, dass die Young-Funktionen stetig sind, die Delta_2-Bedingung erfüllen und die komplementären Funktionen ebenfalls stetig sind. Dabei werden wir einerseits die Ergebnisse der Coorbit-Theorie aus Kapitel 2 nutzen und andererseits die Beweise mittels funktional-analytischer Methoden in Anlehnung an [Gröchenig, 2001] führen. Beide Herangehensweisen erfordern die Delta_2-Bedingung, deren Rolle wir daher ausführlich in Kapitel 5 erläutern. In Abschnitt 4.5 geben wir eine Charakterisierung der Einbettungen zwischen Modulationsräumen mittels Young-Funktionen an. Desweiteren benutzen wir ein Resultat aus der Arbeit [Galperin,Gröchenig,2002] zur Herleitung von Bedingungen, unter denen eine Einbettung von Fourier-Lebesgue-Räumen in den Modulationsraum zur Young-Funktion Phi(x)=|x|^p ln(|x|+1) gegeben ist. Im letzten Kapitel beschäftigen wir uns schließlich mit dem Thema Entropie. Wir leiten hinreichende Bedingungen her, unter denen die Diskretisierung der Entropie die stetige Entropie der Kurzzeit-Fouriertransformierten approximiert, und wir beweisen neue Abschätzungen für die stetige Entropie der Kurzzeit-Fouriertransformierten einer Funktion in einem geeigneten Modulationsraum.

In this thesis we extend the definition of modulation spaces associated to mixed-norm Lebesgue spaces to Orlicz spaces and mixed-norm Orlicz spaces and analyse their properties. In particular we characterize embedding relations between these spaces and prove entropy inequalities of the short-time Fourier transform. The basic idea of modulation spaces is to impose a norm on the short-time Fourier transform of tempered distributions that leads to Banach spaces of distributions with a given time-frequency behavior. The modulation space M^{p,q} consists of all tempered distributions such that the short-time Fourier transform is a function in the mixed-norm Lebesgue space L^{p,q}. We extend this concept and examine modulation spaces associated to Orlicz spaces and mixed-norm Orlicz spaces. The classical modulation spaces can be understood as Coorbit spaces, but can also be directly defined as spaces of tempered distributions without explicit reference to Coorbit theory see [Gröchenig, 2001]. This double perspective is also developed systematically for Orlicz-modulation spaces in this work. Chapters 1 and 3 present the essential results from the time frequency analysis and the theory of Orlicz spaces. Definitions and properties of the Young functions Phi and the associated Orlicz spaces L^Phi are being discussed. The mixed Orlicz spaces L^{Phi_1 Phi_2} are introduced as spaces of vector valued functions. We then examine the properties required for the time frequency analysis and Coorbit theory of these spaces. Here the Delta_2 condition repeatedly plays a central role. Based on this, in chapter 4 we define the modulation spaces associated to Orlicz spaces and mixed-norm Orlicz spaces. These spaces consist of tempered distributions, whose short-time Fourier transform is a function contained in the Orlicz space or in the mixed-norm Orlicz space respectively. We show that the Orlicz modulation spaces are well-defined Banach spaces as long as the Young function and its complementary function are continuous. A corresponding statement also applies to mixed-norm Orlicz modulation spaces assuming that the Young functions are continuous and satisfy the Delta_2 condition and that the complementary functions are also continuous. In our proofs we will therefore use results from Coorbit theory, presented in chapter 2. Besides we will also give alternative proofs solely by means of functional analytical methods, similar to the reasoning in [Gröchenig, 2001]. In both approaches, we need the Delta_2 condition, whose role we therefore discuss in detail in chapter 5. In section 4.5 we give a characterization of embeddings of Orlicz modulation spaces by using relations of Young functions. Furthermore we derive conditions under which an embedding of Fourier-Lebesgue spaces into the modulation space with respect to the Young function Phi(x)=|x|^p ln(|x|+1) is valid. We finally deal with entropy in chapter 6. We derive sufficient conditions under which the discretization of the entropy approximates the continuous entropy of the short-time Fourier transform. Additionally we prove new estimates for the continuous entropy of the short-time Fourier transform under the assumption that the function lies in a suitable modulation space.

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