Optimal shape of a domain which minimizes the first buckling eigenvalue

Knappmann, Kathrin; Wagner, Alfred

doi:33550

Optimal shape of a domain which minimizes the first buckling eigenvalue = Optimale Gestalt eines Gebiets, welches den ersten gebeulten Eigenwert minimiert

Knappmann, Kathrin (Author)

2014

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Kathrin Knappmann

ImpressumAachen 2014

UmfangV, 79 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014

Zsfassung in dt. und engl. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Wagner, Alfred (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-03-18

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-50584
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/444898/files/5058.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Variationsrechnung (Genormte SW) ; Analysis (Genormte SW) ; Partielle Differentialgleichungen (Genormte SW) ; Freies Randwertproblem (Genormte SW) ; Gestaltoptimierung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Gestaltsoptimierung (frei) ; gebeulte Platte (frei) ; analysis (frei) ; calculus of variations (frei) ; partial differential equations (frei) ; shape optimization (frei) ; free boundary problems (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 35J30 * 49K20 * 49R05

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, welches Gebiet von gegebenem Volumen die Beullast einer eingeklemmten Platte minimiert. Im Rahmen dieser Arbeit beschränken wir uns dabei auf Gebiete, die in einer hinreichend großen Kugel enthalten sind. Um die Existenz eines optimalen Gebiets zu beweisen, betrachten wir das zugehörige Variationsproblem. In diesem Variationsproblem wird ein Rayleigh-Quotient in einem geeigneten Funktionenraum minimiert. Die Volumenbedingung ist dabei als Nebenbedingung formuliert. Anstatt dieses bedingte Variationsproblem zu betrachten, folgen wir einer Idee von H. W. Alt, L. A. Caffarelli und A. Friedman und führen einen Bestrafungsterm ein. Dadurch erhalten wir ein neues, bestraftes Variationsproblem, das keine Nebenbedingungen mehr enthält. Somit ist es möglich, auch nicht-volumenerhaltende Störungen zuzulassen. Die Existenz von Lösungen des bestraften Problems folgt mit der direkten Methode der Variationsrechnung. Diese Minimierer lösen die gebeulte Platten-Gleichung im Inneren ihres Trägers. Mit einer Technik, die auf C. B. Morrey zurückgeht, zeigen wir, dass die ersten Ableitungen der Lösungen des bestraften Problems Hölder-stetig sind. Anschließend beweisen wir, dass Laplace(u) für jede Lösung u des bestraften Problems fast überall gleichmäßig beschränkt ist. Mit Hilfe einer Idee von J. Frehse, L. A. Caffarelli und A. Friedman leiten wir dann die Beschränktheit aller zweiten Ableitungen von u her. Folglich sind die ersten Ableitungen der Lösungen Lipschitz-stetig. Ferner werden wir feststellen, dass die Schranke für die zweiten Ableitungen für Punkte nahe des freien Randes von der Wahl der Lösung unabhängig ist. Diese Beobachtung ermöglicht es uns zu zeigen, dass das bestrafte und das unbestrafte Problem äquivalent sind, wenn der Bestrafungsparameter unterhalb einer kritischen Größe gewählt wird. Somit erhalten wir die Existenz von Lösungen für das unbestrafte Problem. Das Innere des Trägers jeder dieser Lösungen bildet ein optimales Gebiet für die Minimierung des ersten gebeulten Platteneigenwertes. Die Lösungen selbst sind die zugehörigen Eigenfunktionen. Unter der Annahme, dass eine Verdoppelungseigenschaft erfüllt ist, zeigen wir, dass die Eigenfunktionen am Rand des zugehörigen optimalen Gebiets nicht degenerieren. Dies impliziert die Existenz einer unteren Schranke für die Dichte dieses Randes. Aufgrund der Dichteabschätzung beweisen wir, dass der Rand jedes optimalen Gebietes eine Nullmenge bezogen auf das n-dimensionale Lebesgue-Maß ist. Außerdem erhalten wir weitere qualitative Eigenschaften des freien Randes.

The present thesis is concerned with the question which domain minimizes the buckling load of a clamped plate among all domains of given measure. We consider a large ball and restrict ourselves to look for a domain minimizing the buckling load among all open subsets of this ball, which fulfil the mass constraint. The corresponding variational problem is a minimizing problem in a suitable function space. The mass constraint is formulated as a side condition. Instead of treating this problem, we follow an idea of H. W. Alt, L. A. Caffarelli and A. Friedman and introduce a penalization term. In this way, we disregard the mass constraint as a side condition and obtain a penalized variational problem without any constraints. Consequently, we may allow non-volume preserving perturbations. Applying direct methods, we prove the existence of a solution for the penalized problem. These solutions solve the buckled plate equation in their supports’ interior. Using a technique of C. B. Morrey, we show that the first order derivatives of each minimizer are Hölder continuous. Subsequently, we establish a bound on the Laplacian of every minimizer and combine ideas of J. Frehse, L. A. Caffarelli and A. Friedman to extend this bound on each second order derivative of a minimizer. In this way, we obtain the Lipschitz continuity of the first order derivatives of each minimizer. Moreover, we find that the bound on the second order derivatives of a minimizer is uniform close to the free boundary. Consequently, we show that the penalized problem and the original problem can be treated as equivalent, provided the penalization parameter is chosen smaller than a critical value. Hence, we obtain a solution for the original problem. For each solution, the interior of the solution’s support generates an optimal domain for minimizing the buckling eigenvalue among all subsets of the embracing ball, which fulfil the volume condition. The solutions themselves are first buckling eigenfunctions. Assuming that a doubling property is satisfied, we show that the solutions do not degenerate along the free boundary. This nondegeneracy property implies a lower bound on the density of the free boundary. As a consequence of this density bound, we obtain that an optimal domain’s boundary is a nullset with respect to the n-dimensional Lebesgue measure and prove qualitative properties of an optimal shape.

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