Konstruktion, Approximation und Eigenschaften hyperkomplexer Kernfunktionen und ihre Anwendung auf partielle Differentialgleichungen

Grob, Dennis; Kraußhar, Rolf Sören

doi:999910330545

Konstruktion, Approximation und Eigenschaften hyperkomplexer Kernfunktionen und ihre Anwendung auf partielle Differentialgleichungen = Construction, approximation and properties of hypercomplex kernel functions and their application to partial differential equations

Grob, Dennis

2013

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Dennis Grob

ImpressumAachen 2013

UmfangVIII, 140 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Kraußhar, Rolf Sören (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2013-04-19

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-48216
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/228938/files/4821.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Clifford-Algebra (Genormte SW) ; Zahlentheorie (Genormte SW) ; Differentialgeometrie (Genormte SW) ; Dirichlet-Problem (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; hyperkomplexe Funktionentheorie (frei) ; Clifford algebra (frei) ; hypercomplex function theory (frei) ; number theory (frei) ; Dirichlet problem (frei) ; differential geometry (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 30G35 * 11F03 * 11F30 * 15A66 * 31B20

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit ist im Bereich der hyperkomplexen Funktionentheorie angesiedelt, welche sich mit der Funktionentheorie über Cliffordalgebren befaßt. Zentrales Element bildet dabei der Begriff des reproduzierenden Kernes eines hilbertschen Funktionenraumes. Die Arbeit befaßt sich mit einer Reihe unterschiedlicher Fragestellungen, die alle zwei Spezialfälle zweier reproduzierender Kerne miteinbeziehen, nämlich den sogenannten Bergmankern und den sogenannten Szegökern. Zunächst werden in der Arbeit grundlegende Definitionen der Theorie, sowie wichtige und benötigte Ergebnisse aus der hyperkomplexen Funktionentheorie wiederholt. Anschließend wird die Existenz und Konstruktion der erwähnten reproduzierenden Kerne zu bestimmten Klassen von Gebieten behandelt. Die gefundenen Darstellungen der Kernfunktion werden danach verwendet, bestimmte partielle Differentialgleichungen zu lösen. Außerdem wird behandelt, wie man mit Hilfe der Kernfunktionen und zugehöriger Differentialoperatoren bestimmte Klassen von Dirichletproblemen analytisch lösen kann. Der nächste Forschungspunkt kommt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Mit Hilfe des Szegökerns wird eine Metrik definiert, und Eigenschaften bzgl. Krümmung und Vollständigkeit werden nachgewiesen. Dies geschieht in Hinblick auf den Zusammenhang der Vollständigkeit einer ähnlich definierten Metrik im Bereich der Funktionentheorie mehrerer komplexer Veränderlicher und der Glattheit des zugrunde liegenden Gebietes. Als letztes wird die Zahlentheorie behandelt. Dabei wird zunächst ein langjähriges Problem der hyperkomplexen Funktionentheorie gelöst, als daß die Existenz und Konstruktion nichttrivialer Spitzenformen nachgewiesen bzw. durchgeführt werden kann. Für diese neu konstruierte Funktionenklasse wird weiterhin mit Hilfe des Bergmankerns eine Verallgemeinerung der selbergschen Spurformel aufgestellt und nachgewiesen.

The present thesis is set within the field of hypercomplex function theory, which regards the funtion theory over Clifford algebras. The central term on which this thesis revolves is the reproducing kernel of a Hilbert function space. The thesis treats a number of different questions, which all involve two special cases of a reproducing kernel function, the so-called Bergman kernel and the so-called Szegö kernel. Firstly, the basic definitions as well as important and needed results from hypercomplex function theory are recalled. Secondly, the existence and construction of said reproducing kernel functions is treated for certain classes of domains. The obtained representations of the kernel functions are then used to solve certain partial differential equations. Furthermore, solutions to certain classes of Dirichlet problems are given using kernel functions and corresponding differential operators. The next item of research is from the field of differential geometry. A metric is defined by using the Szegö kernel, and its properties concerning curvature and completeness are verified. This is done in view of the connection of a similarly defined metric in the context of function theory in several complex variables and the smoothness of the underlying domain. Finally, the field of number theory is examined. For a start, a long standing problem within hypercomplex function theory is solved, as the existence and construction of non-trivial cusp forms can be verified and respectively performed. Furthermore, by using the Bergman kernel, a generalization of the Selberg trace formula for this newly constructed class of functions is proposed and proven.

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