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Reduktion und asymptotische Reduktion von Reaktionsgleichungen = Reduction and asymptotic reduction of reaction equations



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Alexandra Goeke

ImpressumAachen 2013

UmfangX, 190 S.


Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Zsfassung in dt. und engl. Sprache


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter


Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2013-10-09

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-48146
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/229008/files/4814.pdf

Einrichtungen

  1. Fachgruppe Mathematik (110000)
  2. Lehrstuhl A für Mathematik (114110)
  3. Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (114220)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Reaktionsgleichung (Genormte SW) ; Reduktion (Genormte SW) ; Asymptotik (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; asymptotische Reduktion (frei) ; Quasistationarität (frei) ; Tikhonov-Fenichel-Reduktion (frei) ; asymptotic reduction (frei) ; quasi-steady state (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit werden vor allem gewöhnliche Differentialgleichungen betrachtet, die chemische Reaktionen mit Massenwirkungskinetik modellieren. Das hauptsächliche Interesse liegt bei dem Phänomen der Quasistationarität, seiner mathematischen Beschreibung und Analyse. Ein verbreiteter Ansatz, Quasistationarität chemischer Größen zu untersuchen, ist die Anwendung der Reduktionstheorie von Tikhonov und Fenichel für singuläre Störungsprobleme. Eine unmittelbare Anwendung des Reduktionssatzes von Tikhonov ist im Allgemeinen nicht möglich. Basierend auf geometrischen Interpretationen von Fenichel, nutzen Nöthen und Walcher Projektionseigenschaften reduzierter Gleichungen, um diese direkt, ohne Kenntnis einer von Tikhonov vorausgesetzten Standardform, zu bestimmen. Der Projektionsvorschrift fehlt eine praktikable Herangehensweise, was Gegenstand dieser Arbeit ist. Für Systeme mit rationaler rechter Seite, insbesondere für Reaktionsgleichungen, wird in Kapitel 2 ein algorithmischer Zugang für reduzierte Gleichungen entwickelt, welcher im Wesentlichen auf einer geeigneten lokalen Beschreibung einer Slow Manifold beruht. Es wird eine Produktzerlegung des schnellen Teilsystems konstruiert, auf deren Grundlage eine geschlossene Reduktionsformel für die Tikhonov-Fenichel-Reduktion, bestehend aus elementaren algebraischen Operationen, angegeben wird. Im Kontext schneller und langsamer Reaktionen bestimmt die stöchiometrische Matrix des schnellen Systems eine kanonische Zerlegung. Die Reduktionsformel wird ergänzt um die Angabe lokal eindeutiger Anfangswerte des reduzierten Systems auf der Slow Manifold. Da diese im Allgemeinen nicht exakt bestimmbar sind, wird eine Iterationsvorschrift für approximierte Werte entwickelt. Eine breite Anwendungsklasse bilden enzymkinetische Reaktionen mit quasistationären Zwischenprodukten, deren Gleichungen auf einen affinen Teilraum reduziert werden. Die Struktur der Slow Manifold bewirkt eine Vereinfachung der Reduktionsformel, wie in Kapitel 4 gezeigt wird. Eine spezielle Folgerung erlaubt es, einer in biologischer wie chemischer Literatur verbreiteten Ad-hoc-Methode einen Gültigkeitsbereich zuzuordnen. Im Unterschied zu bekannten Reduktionsformeln in der Literatur nutzt der Zugang in Kapitel 2 weder eine explizite Transformation des Systems in eine Tikhonov-Standardform noch eine Parametrisierung der Slow Manifold, was praktische Rechnungen oft erst ermöglicht. Die Existenzbedingungen einer Tikhonov-Fenichel-Reduktion vorausgesetzt, ermöglicht die neue Herangehensweise die explizite Berechnung reduzierter Gleichungen für beliebige rationale Systeme. Anwendungen in Kapitel 5 und 6 umfassen Verallgemeinerungen und Korrekturen von QSS-Reduktionen einer Reihe interessanter Reaktionssysteme. Insbesondere können reversible Modellerweiterungen und höherdimensionale Systeme reduziert werden. Kapitel 7 beinhaltet Reaktions-Diffusionssysteme, für deren räumliche Diskretisierung eine Tikhonov-Fenichel-Reduktion berechnet wird. Dies liefert eine Heuristik, um Kandidaten für reduzierte partielle Differentialgleichungen zu bestimmen. Da in der Literatur kein Gegenstück zur Tikhonov-Fenichel-Reduktion für partielle Differentialgleichungssysteme existiert, stellt bereits das Bestimmen von möglichen reduzierten Gleichungen ein nicht triviales Problem dar. Ein grundlegendes Resultat von Teil II der Arbeit ist die systematische Bestimmung aller Möglichkeiten für eine Tikhonov-Fenichel-Reduktion eines parameterabhängigen Systems. Tikhonov-Parameterwerte werden dadurch charakterisiert, dass die Sätze von Tikhonov bzw Fenichel für kleine Störungen in jeder vorgegebenen Richtung im Parameterraum gelten. Für starke Tikhonov-Parameterwerte wird zusätzlich die Attraktivität einer Slow Manifold gefordert. Ausgehend von den mathematischen Voraussetzungen des Tikhonov-Fenichel-Formalismus erhält man ein exaktes Kriterium, welches die Bestimmung von Tikhonov-Parameterwerten für Methoden der algorithmischen Algebra zugänglich macht. Unter anderem werden für die Gleichungen der klassischen irreversiblen und reversiblen Michaelis-Menten Reaktion alle Tikhonov-Parameterwerte bestimmt. Speziell gibt es im irreversiblen Michaelis-Menten-Modell keine Tikhonov-Fenichel-Reduktionen mit kleinem Parameter außer die in der Literatur bekannten. Bezüglich der Struktur wird gezeigt, dass die starken Tikhonov-Parameterwerte eines Systems eine semi-algebraische Menge bilden. Für kompliziertere Systeme können notwendige Bedingungen einfach ausgewertet werden. Einfache Berechnungen für die Anwendungen in Kapitel 9 zeigen, dass nur eine überschaubare Anzahl an Reduktionen möglich ist, abgesehen von lösungserhaltenden Transformationen.

This thesis deals with ordinary differential equations which model reacting systems obeying mass-action kinetics. We focus on the mathematical characterization and analysis of quasi-steady state. Frequently, singular perturbation methods are used to model this biochemical phenomenon. Essentially, the reduction of dimension goes back to Tikhonov and Fenichel and their fundamental results for singularly perturbed systems. In general, an explicit application of Tikhonov's theorem is impossible. But there is a way to directly compute a reduced system, which does not require a so-called Tikhonov standard form. Substantially this is a result of the geometrical interpretation of Fenichel. To determine a reduced system, Nöthen and Walcher give a straightforward procedure based on a projection, but this method is not feasible for practical purposes. We present a different approach in Chapter 2 for differential equations with rational right hand side, especially for reaction equations. Fundamentally, the method is based on a suitable local representation of the Slow Manifold. We construct a product representation for the slow system, which leads to a simple formula for the Tikhonov-Fenichel reduction. This formula only requires elementary algebraic operations. In particular, for slow and fast reactions the stoichiometry of the fast system leads to a canonical product representation. Moreover, we specify locally unique initial values for the reduced system on the slow manifold to complete the reduction. In general, these cannot be computed exactly. Therefore we develop an iterative procedure to generate approximate values. One area of application concerns enzymatic reactions with quasi-steady state assumptions for intermediates whose reaction equations are reduced to a real affine subspace. As described in Chapter 4, the special structure of the slow manifold yields a simplification of the reduction formula. Moreover, we are able to determine a domain of validity for an ad-hoc method that is commonly used in chemical literature. The reduction procedure in Chapter 2 is neither based on an explicit transformation of a system in Tikhonov standard form, nor does it make use of a parametrization of the slow manifold. In this respect, the new approach extends well-known reduction formulas in the literature. Frequently, a reduced equation is computable only via this extension. Given that a Tikhonov-Fenichel reduction exists, we are able to calculate a reduced equation explicitly for every autonomous differential equation with rational right hand side. Applications in Chapters 5 and 6 include generalizations and corrections of quasi-steady state reductions for several important examples. In particular, we are able to reduce reversible model extensions and higher dimensional systems. Moreover, Chapter 7 examines reaction-diffusion systems and the determination of a Tikhonov-Fenichel reduction for spatial discretization schemes. As a consequence, we obtain a heuristic to find candidates for reduced partial differential equations. Since there exists no conterpart to the Tikhonov-Fenichel reduction for systems of partial differential equations in the literature, even this step provides an approach to the solution of a nontrivial problem. A systematic method to classify all possible Tikhonov-Fenichel reductions for a parameter-dependent system is the central result of Part II. Thus, one is interested in points of phase-parameter space such that the conditions for Tikhonov-Fenichel hold for small perturbations along any fixed direction in the parameter space. We take this as a defining property of a so called Tikhonov parameter value. Moreover, for a strong Tikhonov parameter value there is an attractive slow manifold. The mathematical conditions for the existence of a reduction yield exact criteria for Tikhonov parameter values. Consequently, methods of algorithmic algebra are applicable. Among other results, all Tikhonov parameter values for the classical irreversible and reversible Michaelis-Menten dynamics are determined. In particular, in the irreversible Micha-elis--Menten-scheme a reduction with a small parameter is possible only for the well-known ones in the literature. Concerning the structure we show that the strong Tikhonov parameter values of a system form a semi-algebraic set. Furthermore, it is easy to apply necessary conditions for more complicated systems. Our computations for the applications in Chapter 9 show that only a small number of reductions is possible (apart from a solution preserving transformation).

Fulltext:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online, print

Sprache
German

Interne Identnummern
RWTH-CONV-143997
Datensatz-ID: 229008

Beteiligte Länder
Germany

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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
114220
110000
114110

 Record created 2014-07-16, last modified 2022-04-22


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