Dual strongly perfect lattices

Nossek, Elisabeth; Nebe, Gabriele

doi:32620

Dual strongly perfect lattices = Dual stark perfekte Gitter

Nossek, Elisabeth (Author)

2013

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Elisabeth Nossek

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2013

Umfang151 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Nebe, Gabriele (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2013-02-28

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-46718
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/229391/files/4671.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Algebraische Zahlentheorie (Genormte SW) ; Gitter <Mathematik> (Genormte SW) ; Kugelpackung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; sphärische Desgins (frei) ; algebraic number theory (frei) ; lattice (group) (frei) ; sphere packing (frei) ; spherical design (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 11H31 * 11H06

Kurzfassung
Die Bestimmung der dichtesten Kugelpackung in jeder gegebenen Dimension ist ein klassisches Problem der Mathematik. In Dimension 3 ist dies die bekannte Keplervermutung, die erst 1998 von Thomas Hales bewiesen wurde. Unter der zusätzlichen Annahme, dass die Mittelpunkte der Kugeln eine Gruppe bilden, ein sogenanntes Gitter, wird das Problem wesentlich vereinfacht. Schon 1908 hat Voronoi einen Algorithmus entwickelt, der alle lokal dichtesten Gitter auflistet, dessen Komplexität aber nur einen Anwendung bis Dimension 8 zulässt. Daher sind die dichtesten gitterförmigen Kugelpackungen bis zur Dimension 8 bekannt und, nur wegen der Existenz des besonders dichten Leech-Gitters, auch in Dimension 24. Venkov brachte spezielle lokal dichteste Gitter mit dem kombinatorischen Konzept der sphärischen Designs, das 1977 von Delsarte, Goethals und Seidel entwickelt wurde, in Verbindung. Ein Gitter L heisst danach stark perfekt, wenn seine kürzesten Vektoren ein sphärisches 5-Design bilden. Wie Venkov zeigt, sind stark perfekte Gitter lokale Maxima der Dichtefunktion. Beispiele für stark perfekte Gitter sind das oben erwähnte Leech-Gitter, das Barnes-Wall-Gitter und die dichtesten Gitter in Dimension 2, 4, 6, 7, 8. G. Nebe und B. Venkov haben die stark perfekten Gitter bis Dimension 12 vollständig klassifiziert. Für fast alle bekannten stark perfekten Gitter gilt, dass auch ihr duales Gitter stark perfekt ist, diese Gitter heißen dual stark perfekt. In Dimension 14 gibt es genau ein dual stark perfektes Gitter, wie Nebe und Venkov gezeigt haben. Diese Dissertation führt die Klassifikation dual stark perfekter Gitter fort und zeigt, dass in Dimension 13 und 15 keine dual stark perfekten Gitter existieren. Die neu entwickelten Methoden erlauben auch einen kürzeren Klassifikationsbeweis für Dimension 14, reichen jedoch nicht aus, um die Klassifikation in Dimension 16 zu erhalten. In Dimension 17 gelingt der Nichtexistenzbeweis unter der zusätzlichen Annahme, dass die Gitter L universal stark perfekt sind, also jede nicht leere Schicht des Gitters ein sphärisches 5-Design bildet. Diese Eigenschaft ist äquivalent dazu dass die Theta-Reihe des Gitters mit harmonischen Koeffizienten p bis zum Grad 5 verschwindet. Mit der Theta-Transformationsformel ergibt sich, dass auch das duale Gitter von L universal perfekt ist. Somit sind universal perfekte Gitter insbesondere auch dual stark perfekt.

The search for the densest sphere packings in every dimension is a classical problem in mathematics. In dimension 3 this problem is know as the Kepler conjecture, and has only been proofed by Thomas Hales in 1998. If we additionally assume, that the centres of the spheres in the packing form a group, a so called lattice, the problem becomes much easier. Already in 1908 Voronoi developed an algorithm, which computes all local densest lattices. But the complexity of this algorithm makes an application in dimensions greater than 8 impossible. Thus the densest sphere packings associated to a lattice are known up to dimension 8 and in dimension 24, only because of the existence of the extremely dense Leech lattice. Venkov united special local densest lattices with the combinatorial concept of spherical designs, which was developed by Delsarte, Goethals and Seidel in 1977. A lattice is called strongly perfect, if its shortest vectors form a spherical 5-design. As Venkov proves, strongly perfect lattices assume local maxima of the density function. Examples for strongly perfect lattices are the Leech lattice, which was mentioned above, the Barnes-Wall lattice and the densest lattices in dimension 2, 4, 6, 7, 8. G. Nebe and B. Venkov completely classified the strongly perfect lattices up to dimension 12. Almost all strongly perfect lattices are dual strongly perfect, which means that their dual lattice is also strongly perfect. In dimension 14 Nebe and Venkov proved that there is exactly one dual strongly perfect lattice. This thesis continues the classification of dual strongly perfect lattices and shows, that in dimension 13 and 15 there are no dual strongly perfect lattices. The methods developed in this thesis allow to give a shorter proof for the classification in dimension 14, but are not sufficient to give a classification in dimension 16. In dimension 17 we impose the additional constraint for the classification and prove that there is no universally perfect lattice, which means that all non empty layers of L are spherical 5-designs. This property can be characterised with theta-series: all theta-series of L with harmonical coefficients up to degree 5 vanish. With the theta-transformation formula we get that the dual lattice of an universally perfect lattice is universally perfect, too. Therefore universally perfect lattices are in particular dual strongly perfect.

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