Blow-up in a degenerate parabolic equation with gradient nonlinearity

Stinner, Christian; Wiegner, Michael

doi:2208

Blow-up in a degenerate parabolic equation with gradient nonlinearity = Blow-up in einer degeneriert parabolischen Gleichung mit nichtlinearem Gradiententerm

Stinner, Christian (Author)

2008

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Christian Stinner

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2008

Umfang96 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Wiegner, Michael (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2008-02-15

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-22083
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/51534/files/Stinner_Christian.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Parabolisch entartete Differentialgleichung (Genormte SW) ; Anfangsrandwertproblem (Genormte SW) ; Blowing up (Genormte SW) ; Kritischer Exponent (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; degenerate diffusion equation (frei) ; blow-up (frei) ; critical exponent (frei) ; gradient nonlinearity (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 35K65 * 35K55 * 35B33

Kurzfassung
In dieser Arbeit werden positive klassische Lösungen der degeneriert parabolischen Differentialgleichung $u_t = u^p Delta u + u^q + kappa u^r|abla u|^2$ mit Dirichlet-Nullrandwerten in beschränkten, glatten Gebieten Omega untersucht. Dabei sind p>0, q>1, r>-1 und kappa reelle Parameter. Das Ziel dieser Arbeit ist es herauszufinden, unter welchen Bedingungen an die Parameter p,q,r und kappa das Phänomen des Blow-up von Lösungen auftritt und wie diese Parameter die Größe der Blow-up-Menge beeinflussen. Dabei sprechen wir vom Blow-up einer Lösung, wenn diese Lösung nach endlicher Zeit unbeschränkt wird. Ähnliche Fragestellungen wurden in den letzten 20 Jahren für degeneriert parabolische Gleichungen ohne Gradiententerm und die „forced porous medium”-Gleichung betrachtet (siehe z.B. Galaktionov, Wiegner, Winkler). Dabei wurde insbesondere für obige Gleichung im Fall kappa = 0 gezeigt, dass der Exponent q = p+1 kritisch bezüglich des Blow-up-Phänomens ist. In dieser Arbeit wird nun insbesondere gezeigt, wie der Gradiententerm für positives bzw. negatives kappa dieses Verhalten der Lösungen beeinflusst. In Kapitel 1 wird bewiesen, dass obige Gleichung eine maximale klassische Lösung besitzt. Diese Lösung liegt oberhalb jeder positiven klassischen Lösung der Gleichung und ist eindeutig bestimmt. Außerdem wird die Frage der Eindeutigkeit von positiven klassischen Lösungen der Gleichung untersucht. In den Kapiteln 2 und 3 wird klassifiziert, unter welchen Bedingungen die maximale Lösung der Gleichung global in Omega x (0, infty) existiert und wann Blow-up bei der maximalen Lösung auftritt. Dabei treten für fixierte Werte von p,q,r und kappa sowie ein fixiertes Gebiet Omega die folgenden Phänomene auf: Entweder existieren die maximalen Lösungen zu allen Anfangsdaten global oder bei allen maximalen Lösungen tritt unabhängig von den Anfangsdaten Blow-up auf oder es gibt sowohl globale Lösungen (für kleine Anfangsdaten) als auch das Blow-up-Phänomen (für große Anfangsdaten). In Kapitel 2 wird dabei gezeigt, dass für positives kappa neben dem schon bekannten Exponenten q = p+1 mit r = 2p-q ein weiterer kritischer Exponent existiert. In diesem Fall ist der Gradiententerm positiv und begünstigt daher Blow-up. Im Unterschied zum Fall kappa > 0 wird in Kapitel 3 bewiesen, dass für negatives kappa der Exponent r = q-2 der zweite kritische Exponent neben q = p+1 ist. In letzterem Fall wirkt der negative Gradiententerm dem Blow-up entgegen. Außerdem wird für negatives kappa untersucht, ob im Fall der globalen Existenz der maximalen Lösung in Omega x (0, infty) diese Lösung für t gegen unendlich gegen 0 konvergiert. Es stellt sich heraus, dass die Exponenten r = q-2 und q = p+1 auch im Hinblick auf diese Frage eine wichtige Rolle spielen. Im Kapitel 4 wird für positives kappa gezeigt, wie die Parameter die Größe der Blow-up-Menge beeinflussen. Dazu wird vorausgesetzt, dass die maximale Lösung der Gleichung radialsymmetrisch ist und nach einer endlichen und positiven Zeit T unbeschränkt wird. Unter dieser Annahme wird für eine Klasse von Anfangsdaten gezeigt, dass die Blow-up-Menge für q > max {p+1, r+2} nur aus einem Punkt besteht, während sie eine Kugel enthält, wenn q <= max {p+1, r+2} gilt.

In this thesis we study positive classical solutions of the degenerate parabolic differential equation $u_t = u^p Delta u + u^q + kappa u^r|abla u|^2$ with zero Dirichlet boundary condition in smoothly bounded domains Omega. Here p>0, q>1, r>-1 and kappa are real parameters. The main aspect of this thesis is to show the influence of the parameters p, q, r and kappa with respect to blow-up of solutions and the size of the blow-up set. In this context blow-up of a solution means that the solution gets unbounded in finite time. During the past 20 years similar questions were considered for degenerate parabolic equations without gradient terms and the forced porous medium equation (see e.g. Galaktionov, Wiegner, Winkler). In particular, for the equation mentioned above in case of kappa = 0 it was proved that the exponent q=p+1 is critical with respect to blow-up. In this thesis we particularly show the influence of the gradient term on this behavior of the solutions for positive or negative values of kappa. In Chapter 1 we prove that the equation mentioned above has a maximal classical solution. This solution remains above of any positive classical solution and is unique. Moreover, we study the question whether positive classical solutions of this equation are unique. In Chapters 2 and 3 we present in detail which conditions ensure that the maximal solution of this equation is global in Omega x (0, infty) and which conditions ensure blow-up of the maximal solution. In this context - for fixed values of p, q, r and kappa – the following phenomena appear: the maximal solutions corresponding to any initial data exist global in time, or any maximal solution blows up independently of the initial data, or there are global solutions (for small initial data) as well as blow-up (for large initial data). In Chapter 2 we show that, if kappa is positive, the exponent r = 2p-q is a second critical exponent apart from q = p+1. In this case the gradient term is positive and enforces blow-up. In contrast to the case kappa > 0 we prove in Chapter 3 that r = q-2 is the second critical exponent apart from q = p+1, if kappa is negative. Here the negative gradient term can prevent blow-up. Furthermore, we study in case of the global existence of the maximal solution in Omega x (0, infty), whether this solution converges to 0 as t tends to infinity. We state that the exponents r = q-2 and q = p+1 are critical with respect to this question, too. In Chapter 4 we show the influence of the parameters with respect to the size of the blow-up set, if kappa is positive. Therefore we assume that the maximal solution of the equation is radially symmetric and gets unbounded after a finite and positive time T. Then, we prove for a class of initial data that the blow-up set is only a single point in case of q > max {p+1,r+2}, whereas it contains a ball, if q <= max {p+1,r+2}.

Fulltext:
PDF