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Der methodische Einsatz von MÖBIUS-Transformationen über den Quaternionen in der Geometrie des Raumes = The methodic application of Möbius transformations over the quaternions in geometry of three dimensional space



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Wencke Hermanns

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2007

Umfang202 S. : graph. Darst.


Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2007


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter


Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2007-07-19

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-19798
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/62420/files/Hermanns_Wencke.pdf

Einrichtungen

  1. Lehrstuhl A für Mathematik (114110)
  2. Fachgruppe Mathematik (110000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Quaternion (Genormte SW) ; Lineare Transformation (Genormte SW) ; Dreidimensionale Geometrie (Genormte SW) ; Fixpunkt (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Möbius-Transformationen (frei) ; Satz von Roberts (frei) ; Möbius transformations (frei) ; quaternions (frei) ; Roberts Theorem (frei) ; fix point (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der ebenen euklidischen Geometrie kann man sich wegen der Isomorphie $R^2cong C$ die (analytischen) Eigenschaften der komplexen Zahlen zunutze machen. Wegen der Isomorphien $R^4cong h$ und $R^3cong Imh$ liegt es daher nahe, eine analoge Herangehensweise an geometrische Problemstellungen des Raumes zu versuchen und f"ur diese die (analytischen) Eigenschaften der Hamiltonschen Quaternionen $h$ nutzbar zu machen. Begonnen wird daher mit einer allgemeinen, elementaren Einführung in die Eigenschaften des Schiefkörpers $h$ und einer Motivation des durch Hinzunahme des Punktes $infty$ kompaktifizierten Quaternionenraums $widehat{h}$ mittels stereographischer Projektion. Es wird unter anderem festgestellt, dass zwei Quaternionen aus $h^star$ genau dann konjugiert zueinander sind, wenn ihre Realteile und Beträge übereinstimmen. Unter Verwendung dieser Konjugationseigenschaft und der Schiefkörpereigenschaften von $h$ ist es dann möglich, eine Quaternionengleichung vom Grad 2 der Form $XcX+Xd-aX-b=0$, mit $a,b,c,dinh$, $ceq 0$ und $b-ac^{-1}deq 0$, wobei $X$ die Unbestimmte bezeichnet, stark zu vereinfachen und schließlich die Aussage zu treffen, dass eine Gleichung dieser Form immer eine Lösung in $h$ hat. Die Existenz einer Lösung dieser Gleichung wird mit elementaren mathematischen Methoden begründet und teilweise auch eine Aussage über Gestalt und Anzahl der Lösungen getroffen. Daran schließen sich Grundlagen einer Geometrie in $widehat{h}$ und $Imwidehat{h}$ an. Unter anderem wird der Umkreismittelpunkt dreier Punkte aus $Imh$ sowie der Umkugelmittelpunkt und -radius eines Tetraeders in $Imwidehat{h}$ angegeben. Die konkrete Darstellung dieser Größen wird benötigt, um später die Tetraeder- und Parallelenversion des Satzes von Roberts mithilfe von Stetigkeitsargumenten verallgemeinern zu können. Hierfür ist auch die Einführung der Potenz eines Punktes bzgl. einer Kugel sowie der Potenzebenen, -geraden und des Potenzpunktes hilfreich. Im Folgenden werden Möbius-Transformationen auf $widehat{h}$ eingeführt und ihre Eigenschaften charakterisiert; z.B. ergibt sich die Isomorphie der Gruppe $M$ der Möbius-Transformationen und der projektiven linearen Gruppe $mathrm{PGL}_2(h)=GL(2;h)/left(R^starcdot Eight)$. Zudem bilden Möbius-Transformationen Hyperebenen und 3-Sphären aus $widehat{h}$ wieder auf Hyperebenen oder 3-Sphären in $widehat{h}$ ab. Danach werden die Möbius-Transformationen bestimmt, die den erweiterten Imaginärraum $Imwidehat{h}$ wieder in sich selbst überführen, da diese später auf den Satz von Roberts angewendet werden. Es wird ${MinGL(2; h);, phi_M(Imwh)=Imwh}=R^starcdotP$ mit $P = {Minmat(2;h);, MQoverline{M}^t=Q} dot{cup} {Minmat(2;h);, MQoverline{M}^t=-Q}= P_+dot{cup} , P_-$ und $Q=egin{pmatrix} 0 & 1\ 1 & 0 end{pmatrix}in GL (2;h)$ bewiesen. Mit dieser Charakterisierung werden dann unter diesen Transformationen diejenigen bestimmt, die die 2-Sphäre $S^2$ wieder auf sich abbilden. Danach steht das Fixpunkt- und Iterationsverhalten der Möbius-Transformationen von $Imwidehat{h}$ nach $Imwidehat{h}$ im Vordergrund: Es wird festgestellt, dass diese Möbius-Transformationen nur unter bestimmten Bedingungen Fixpunkte in $Imwidehat{h}$ haben. Da sowohl das Fixpunkt- als auch das Iterationsverhalten invariant unter Konjugation sind, werden das Fixpunkt- und Iterationsverhalten der Möbius-Transformationenvon $Imwidehat{h}$ nach $Imwidehat{h}$ charakterisiert, indem einfache Konjugationsklassenvertreter angegeben und deren Fixpunkt- und Iterationsverhalten untersucht wird. June Lester hat in mehreren Veröffentlichungen die Theorie der Doppelverhältnisse in der erweiterten komplexen Zahlenebene entwickelt und sie für die euklidische Geometrie der Ebene nutzbar gemacht. Sie beweist zahlreiche Identitäten für das Doppelverhältnis, beschäftigt sich schwerpunktmäßig aber mit seinen geometrischen Eigenschaften. Ein ähnliches Ziel wird anschließend angestrebt: Das Doppelverhältnis vierer paarweise verschiedener Punkte aus $widehat{h}$ wird definiert und elementare Eigenschaften dieses Doppelverhältnisses hergeleitet. Da die Quaternionen $h$ einen Schiefköper bilden, also die Multiplikation nicht kommutativ ist, kann das Doppelverhältnis auf $widehat{h}$ nicht wie bei Lester definiert werden, sondern man muss auf Konjugationsklassen übergehen. Es werden unter anderem Beziehungen zwischen Möbius-Transformationen und Doppelverhältnissen hergestellt: Es wird z.B. bewiesen, dass Doppelverhältnisse invariant unter Möbius-Transformationen sind und dass zu vier jeweils paarweise verschiedenen Punkten $q_1,q_2,q_3,q_4inwidehat{h}$ und $w_1,w_2,w_3,w_4inwidehat{h}$ genau dann eine Möbius-Transformation, die jeweils $q_n$ auf $w_n$ f"ur $1leq n leq 4$ abbildet, existiert, wenn die Doppelverhältnisse $[q_1,q_2,q_3,q_4]$ und $[w_1,w_2,w_3,w_4]$ übereinstimmen. Weiterhin werden geometrische Eigenschaften des Doppelverhältnisses betrachtet. Es gelingt beispielsweise, Bedingungen dafür anzugeben, dass vier paarweise verschiedene Punkte aus $widehat{h}$ auf einem Kreis oder einer Gerade liegen und dass drei nicht-kollineare Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden. Im Folgenden wird sowohl die Dreiecks- als auch die Parallelenversion des Satzes von Miquels in beliebige Ebenen des erweiterten Imaginärraums $Imwidehat{h}$ bewiesen. Zudem werden die ebenen Versionen des Satzes von Miquel auf Schnittbedingungen auf beliebigen 2-Sphären aus $Imwidehat{h}$ übertragen. Die diversen Versionen des Satzes von Miquel werden für den Beweis des Satzes von Roberts benötigt. Am Ende dieser Arbeit werden in Anlehnung an Nathan Altshiller-Court die Tetraeder- und Parallelenversion des Satzes von Roberts bewiesen und beide durch Heranziehen von Stetigkeitsargumenten verallgemeinert. Anschließend werden sowohl auf die Tetraeder- als auch auf die Parallelenversion dieses Satzes Möbius-Transformationen angewandt und auf diese Weise neue Schnittpunktsätze erhalten. Neben den gezeigten Beispielen sind noch viele andere Transformationen des Satzes denkbar. Die Anwendung von Möbius-Transformationen sollte auch bei anderen Schnittpunktsätzen für Geraden, Kreise, Ebenen und Kugeln aus $R^3$ bzw. $Imwidehat{h}$ neue Schnittpunktsätze generieren und sich so als flexibles Werkzeug der räumlichen Geometrie erweisen.

Studies in plane geometry can benefit from identifying $R^2$ with $C$ and exploiting analytic properties of the complex numbers. This motivates the investigation, whether geometry in three dimensional space can profit in a similar way from applying of the analytical properties of the quaternions when $R^3$ is identified with the imaginary space $Imh$ of the quaternions. Hence this paper starts with a general basic introduction to the properties of the skewfield $h$ of Hamiltonian quaternions and with the extension of $h$ by the point $infty$ to the compactification $widehat{h}$ by stereographic projection. In particular we will find that two quaternions are conjugate to each other if and only if their real parts and absolute values coincide. Using the characterization of conjugation and the skewfield properties of $h$ it is possible to simplify a quaternionic polynomial equation of degree 2 of the form $XcX+Xd-aX-b=0$, with $a,b,c,dinh$, $ceq 0$ and $b-ac^{-1}deq 0$, where $X$ is the variable, and to characterise the solvability of this equation in $h$. The existence of a solution of this equation is derived using elementary mathematical methods. In some cases a statement about shape and number of solutions is made. In the following part fundamentals of geometry in $widehat{h}$ and $Imwidehat{h}$ are discussed. Among other things the circumcenter of three points from $Imh$ is specified as well as the circumcenter and circumradius of a tetrahedron in $Imwidehat{h}$. The representations of these points are required for the generalisations of the tetrahedron and parallel version of Roberts' Theorem by continuity arguments. For this also the introduction of the power of a point with respect to a sphere is necessary as well as the terms radical plane, line and point. In the next chapter quaternionic Möbius transformations are introduced and their properties characterised. For example the group $M$ of the Möbius transformations is isomorphic to the projective general linear group $mathrm{PGL}_2(h)=GL(2;h)/left(R^starcdot Eight)$ and these transformations map 3-spheres and hyperplanes onto 3-spheres or hyperplanes. After that those transformations which map $Imwidehat{h}$ onto $Imwidehat{h}$ are determined. They are found to be given by ${MinGL(2; h);, phi_M(Imwh)=Imwh}=R^starcdotP$ with $P = {Minmat(2;h);, MQoverline{M}^t=Q}dot{cup} {Minmat(2;h);, MQoverline{M}^t=-Q}= P_+dot{cup} , P_-$ and $Q=egin{pmatrix} 0 & 1\ 1 & 0 end{pmatrix}in GL (2;h)$. Especially those transformaions are determined which map the 2-sphere $S^2$ to itself. Then the focus is on the fixed point structure and the iterative behaviour of the Möbius transformations which map $Imwidehat{h}$ onto $Imwidehat{h}$. It is found that these Möbius transformations have fixed points in $Imwidehat{h}$ only under certain conditions. Because both the fixed point structure and iterative behaviour are invariant under conjugation the fixed point structure and iterative behaviour of the Möbius transformations from $Imwidehat{h}$ to $Imwidehat{h}$ are characterised by specifying simple elements of the conjugacy class and examining their fixed point structure and iterative behaviour. June Lester has developed the theory of cross ratios in the compactified complex plane in several publications. She proves many identities for the cross ratio and focuses on its geometric properties. A similar aim is now strived for: The cross ratio of four distinct points in $widehat{h}$ is defined and elementary properties of this cross ratio are derived. Because $h$ is a skewfield, i.e. the elements do not commute with respect to multiplication, the cross ratio of four distinct points in $widehat{h}$ can not be defined as in Lester's case but one has to switch to conjugacy classes. Amongst other things, relationships are made between Möbius transformations and cross ratios: For example it is proven that cross ratios are invariant under Möbius transformations and that there exists a Möbius transformations which maps $q_n$ to $w_n$ for $1leq n leq 4$, where $q_1,q_2,q_3,q_4inwidehat{h}$ and $w_1,w_2,w_3,w_4inwidehat{h}$ are four mutually distinct points, respectively, if and only if the cross rations $[q_1,q_2,q_3,q_4]$ and $[w_1,w_2,w_3,w_4]$ are equal. Moreover, geometrical properties of the cross ratios are considered. For example it is possible to characterise if four distinct points in $widehat{h}$ lie on a circle or a straight line and if three not collinear points build a equilateral triangle. In the following chapter the triangle and parallel versions of Miquel's Theorem are proven for any plane in the compactified imaginary space $Imwidehat{h}$. In addition those theorems are transferred to conditions of intersection on a 2-sphere. These different versions of Miquel's Theorem are necessary in order to prove of Roberts' Theorem. In the last chapter the tetrahedron and parallel versions of Roberts' Theorem are proved following Nathan Altshiller-Court. Using arguments of continuity leads to general versions of the theorems. Moreover, Möbius transformations are used upon the tetrahedron and parallel versions of Roberts' Theorem whereby new theorems of intesection are found. In addition to these examples there are many other possibilities to get new theorems of intersection using Möbius transformations. So these transformations present a flexible instrument for geometry in three dimensional space.

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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online, print

Sprache
German

Externe Identnummern
HBZ: HT015270555

Interne Identnummern
RWTH-CONV-123990
Datensatz-ID: 62420

Beteiligte Länder
Germany

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Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
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110000
114110

 Record created 2013-01-28, last modified 2022-04-22


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