From Beam to Higher-Order Continuum Modelling of the Mechanical Properties of Cellular Solids
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Abstract
Nature uses cellular structures as building blocks for many lightweight materials such as wood, cork, bone or snow. Their good weight specific properties also motivated man to mimic these efficient designs, especially in the growing field of additive manufacturing methods. The characteristics of the microstructure such as bond length or cell size are a result of these manufacturing processes and do in general not scale with the system size. This gives rise to size dependent mechanical properties where large systems behave differently from small systems. Furthermore, natural and foaming processes often produce irregular structures, which not only show significant property variations among different microstructure realizations but are also differently affected by size dependent behaviour. For modelling the mechanical behaviour of open cellular foams we adopt two approaches on two different length scales. First, we consider a representation of the microstructure as a network of beams. To this end, we create algorithmically a large number of microstructures with varying degree of irregularity and size by means of Voronoi tessellation. The resulting idealized structures are then represented by a network of Timoshenko beams which is solved with the finite element method. Our second approach treats the structures as higher-order continua, which incorporate an internal length and thus are able to represent size effects. In order to get a more informed way of higher-order constitutive modelling and boundary conditions we link these two scales for the special case of the Cosserat continuum. We develop a new, energetically consistent continuization scheme that maps forces and displacements from beam networks to equivalent spatially continuous stress and strain fields on the scale of the individual microstructure elements, i.e. cells. In our method the determination of stresses and strains is mutually independent, which allows to identify constitutive parameters from the ensemble of control volume data using a least-square error criterion. As a second application of the continuization method we study stress patterns emerging from microstructural heterogeneities. By using the method as a visualization tool we compare these patterns between individual realizations and perform ensemble averages of them for statistical analysis. This allows us to quantify the quality of ensembles or individual structures with respect to their overall stiffness via analysis of spatial deformation patterns. Finally, we present the inelastic modelling of snow as a foam of ice. From experimental results we develop a higher-order continuum which is able to capture the unique phenomenon of oscillating compaction bands. It is a phenomenological model based on an elliptic yield criterion and enriched with a time dependent softening behaviour which represents the competing effects of bond breaking and healing at the time scale of the deformation, a unique feature of snow.
Abstract
Zellulare Strukturen sind der Grundbaustein fester Schäume, die in der Natur zum Beispiel als Holz, Kork, Knochen oder Schnee anzutreffen sind. Ihre guten gewichtsspezifischen Eigenschaften werden, insbesondere im Bereich der additiven Fertigung, auch in industriell hergestellten Strukturen genutzt. Die Mikrostruktur des Schaums ist charakterisiert durch die Größe der Zellen oder Länge von Stegen und ein direktes Ergebnis des Herstellungsprozesses. Im Allgemeinen skaliert diese charakteristische Länge nicht mit der Systemgröße, was zu mechanischen Größeneffekten führt, bei denen sich große Systeme anders verhalten als kleine. Des Weiteren sind sowohl biologische als auch geschäumte Strukturen oft ungeordnet. Dadurch fluktuieren zum einen die Eigenschaften zwischen einzelnen Mikrostrukturrealisierungen stark, zum anderen gibt es eine Wechselwirkung zwischen Unordnung und größenabhängigem Verhalten.
Für die Modellierung der mechanischen Eigenschaften von offenporigen, festen Schäumen werden in dieser Arbeit zwei verschiedene Ansätze auf zwei unterschiedlichen Längenskalen verwendet. Im ersten Ansatz wird die Mikrostruktur durch ein Netzwerk von Balken repräsentiert. Für die Untersuchungen wird zuerst mittels Voronoi-Diagrammen algorithmisch eine große Anzahl (ca. 500000) von, in Größe und Unordnung variierenden, Mikrostrukturen generiert. Diese idealisierten, netzwerkartigen Strukturen werden anschließend durch Timoshenko-Balkennetzwerke modelliert. Als Simulationsmethode für die Balkennetzwerke wird die Finite Elemente Methode verwendet.
Der zweite Ansatz betrachtet feste Schäume als höhergradiges Kontinuum, welches eine intrinsische Länge hat und daher Größeneffekte darstellen kann. Um ein besseres Verständnis über die Modellierung als höhergradige Kontinua, insbesondere im Hinblick auf Randbedingungen und konstitutiver Gesetze, zu erhalten wird eine Verbindung zwischen den Balkenmodellen und dem Sonderfall des Cosseratkontinuums präsentiert. Diese neu entwickelte, so genannte Kontinuisierungsmethode wird aus der Energieäquivalenz von Cosserat- und Balkenmodellen abgeleitet und ermöglicht Kräfte und Verschiebungen des Balkennetzwerks als gleichwertige, kontinuierliche Spannungen und Verzerrungen abzubilden. Die Methode arbeitet auf der Skala der individuellen Zellen, kann damit auch lokale Fluktuationen darstellen und bestimmt die kontinuierlichen Spannungen und Verzerrungen unabhängig voneinander. Dies wird genutzt, um mit der Methode der kleinsten Quadrate die Materialkennwerte aus den gemittelten Balkennetzwerken für das Cosserat Kontinuum zu bestimmen. Als zweiten Anwendungsfall für die Kontinuisierungsmethode werden die durch Strukturheterogenitäten verursachten Spannungsmuster untersucht. Die Methode erlaubt nicht nur die Untersuchung einzelner Mikrostrukturrealisierungen, sondern auch eine einfache Ensemblemittlung über verschiedene Mikrostrukturen und deren statistische Analyse. Dadurch können Spannungsmuster verschiedener Ensembles oder auch einzelner Strukturen in quantitative Relation zur Gesamtsteifigkeit gesetzt werden.
Abschließend wird die elasto-plastische Modellierung von Schnee, interpretiert als fester Schaum aus Eis, gezeigt. Auf der Grundlage von Experimenten, bei denen oszillierende Kompressionsbänder beobachtet wurden, wird ein höhergradiges Kontinuumsmodell entwickelt, welches diese Bänder modellieren kann. Es basiert auf einem phänomenologischen, elliptischen Fließkriterium erweitert um ein zeitabhängiges Entfestigungsmodell. Diesem zeitabhängigen Verhalten liegt die Wechselwirkung zwischen Brechen und Wiederherstellen von Stegen zwischen Eiskörnern zugrunde, welche, bedingt durch aktive Diffusionsprozesse, einzigartig in Schnee ist.